The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of Its Creators, de Alexander Soifer, es una obra singular que combina combinatoria, teoría de grafos, geometría, teoría de Ramsey e historia de las matemáticas.
El libro parte de problemas que pueden formularse de una manera sorprendentemente sencilla —muchas veces utilizando únicamente puntos, segmentos, colores y números— pero que conducen rápidamente hacia algunos de los problemas más profundos de la matemática discreta.
Al mismo tiempo, Soifer reconstruye la historia de las personas que desarrollaron estas ideas. El resultado no es solamente un libro sobre teoremas: es también una obra sobre cómo nacen las matemáticas y sobre los matemáticos que las crean.
¿Qué significa colorear matemáticamente?
En matemáticas, un problema de coloración consiste en asignar colores a determinados objetos respetando ciertas restricciones.
El ejemplo más sencillo aparece en teoría de grafos. Si tenemos un grafo
donde \(V\) es el conjunto de vértices y \(E\) el conjunto de aristas, podemos intentar asignar un color a cada vértice de manera que dos vértices unidos por una arista nunca tengan el mismo color.
Una coloración propia puede representarse mediante una función
tal que
La pregunta fundamental es entonces: ¿cuál es el menor número de colores necesarios?
El número cromático
El menor número de colores necesarios para colorear correctamente un grafo \(G\) se denomina número cromático y se denota por
Por ejemplo, un triángulo necesita tres colores:
En cambio, cualquier grafo bipartito que contenga al menos una arista puede colorearse utilizando solamente dos colores:
A partir de esta idea aparentemente elemental surgen problemas capaces de resistir durante décadas los intentos de algunos de los mejores matemáticos.
El problema del número cromático del plano
Uno de los protagonistas principales del libro es el célebre problema de Hadwiger-Nelson.
Imaginemos que debemos colorear cada punto del plano de tal manera que dos puntos situados exactamente a distancia \(1\) nunca reciban el mismo color.
La pregunta es:
Podemos definir un grafo infinito cuyos vértices son todos los puntos de \(\mathbb{R}^2\) y donde dos puntos están unidos cuando la distancia entre ellos es exactamente \(1\).
El problema consiste entonces en determinar el número cromático
La formulación es tan sencilla que puede explicarse a un estudiante en pocos minutos. Encontrar la respuesta exacta, sin embargo, ha resultado extraordinariamente difícil.
La geometría aparece dentro de la combinatoria
El problema del plano muestra una característica fascinante de la matemática de coloraciones: mezcla estructuras discretas con geometría.
Si dos puntos
están a distancia unidad, entonces
Cada una de estas relaciones geométricas se interpreta como una arista de un enorme grafo infinito.
Así, una pregunta sobre distancias en el plano se transforma en una pregunta sobre coloración de grafos.
Grafos finitos dentro del plano
Una estrategia fundamental consiste en buscar configuraciones finitas de puntos que obliguen a utilizar varios colores.
Si encontramos un grafo \(G\) que puede representarse en el plano con todas sus aristas de longitud \(1\), entonces necesariamente
Por tanto, construir grafos con número cromático elevado proporciona cotas inferiores para el problema infinito.
Esta interacción entre construcciones geométricas concretas y preguntas globales constituye uno de los grandes temas del libro.
El teorema de De Bruijn-Erdős
Uno de los resultados conceptualmente más importantes en este contexto es el teorema de De Bruijn-Erdős.
En una de sus consecuencias para coloraciones, permite relacionar la colorabilidad de un grafo infinito con la de sus subgrafos finitos.
De forma esquemática, para un número finito \(k\),
si todos sus subgrafos finitos admiten una \(k\)-coloración.
Este resultado muestra por qué la búsqueda de configuraciones finitas puede proporcionar información decisiva sobre un problema definido sobre todo el plano.
Coloración de aristas
No siempre se colorean los vértices. También podemos asignar colores a las aristas de un grafo.
Una coloración propia de aristas exige que dos aristas que comparten un vértice tengan colores distintos.
El menor número necesario se denomina índice cromático:
Para un grafo simple con grado máximo \(\Delta(G)\), el célebre teorema de Vizing establece
Un resultado sorprendentemente preciso: solo existen dos posibilidades.
Teoría de Ramsey
Otra gran protagonista del libro es la teoría de Ramsey.
Su filosofía puede resumirse informalmente de la siguiente manera: en una estructura suficientemente grande, cierto grado de orden resulta inevitable.
Los números de Ramsey se definen mediante problemas de coloración. El número
es el menor entero \(n\) tal que cualquier coloración roja y azul de las aristas de \(K_n\) contiene necesariamente un \(K_r\) completamente rojo o un \(K_s\) completamente azul.
El famoso ejemplo \(R(3,3)=6\)
Uno de los ejemplos clásicos afirma que
Podemos interpretarlo mediante seis personas.
Supongamos que para cada pareja de personas indicamos una de dos posibilidades: se conocen o no se conocen. Entonces necesariamente existirán tres personas que se conocen mutuamente o tres que son mutuamente desconocidas.
El problema puede modelarse coloreando las aristas de \(K_6\) con dos colores.
Este resultado elemental contiene ya la esencia de la teoría de Ramsey: cuando una estructura es suficientemente grande, resulta imposible evitar por completo determinados patrones.
Van der Waerden y las progresiones aritméticas
Otro resultado fundamental relacionado con el espíritu del libro es el teorema de van der Waerden.
Consideremos los números naturales coloreados con un número finito de colores. El teorema afirma que, por complicada que sea la coloración, existirán progresiones aritméticas monocromáticas arbitrariamente largas.
Una progresión aritmética tiene la forma
El teorema garantiza que, para cualquier \(k\) y cualquier número finito de colores, si coloreamos una cantidad suficientemente grande de enteros, aparecerá una progresión de longitud \(k\) cuyos términos poseen todos el mismo color.
Este es otro ejemplo de un principio típicamente ramseyano: el orden termina apareciendo incluso dentro de una coloración que intentamos hacer desordenada.
El teorema de Schur
El libro dedica también atención a resultados asociados con Issai Schur.
El teorema de Schur afirma que si los enteros positivos se dividen en un número finito de colores, aparecerán números \(x\), \(y\) y \(z\) del mismo color tales que
Una vez más, una regla de coloración extremadamente sencilla produce una estructura aritmética inevitable.
Este tipo de problemas muestra la conexión íntima entre coloración, combinatoria y teoría de números.
Colorar no significa simplemente pintar
En todos estos problemas, los colores son únicamente etiquetas.
Podríamos sustituir
por
Lo importante no es el aspecto visual del color, sino la clasificación de los objetos en distintas clases.
Precisamente por ello la teoría de coloraciones aparece en problemas de planificación, asignación, horarios, frecuencias, redes y optimización.
La matemática como actividad humana
Lo que hace especial a The Mathematical Coloring Book es que Soifer no se conforma con presentar definiciones y teoremas.
Una parte considerable del volumen reconstruye la historia de quienes desarrollaron estas ideas, utilizando fotografías, documentos, correspondencia y testimonios.
Springer caracteriza la obra como un libro que combina matemáticas con historia y cuestiones humanas y filosóficas. El propio planteamiento fue desarrollado por Soifer durante muchos años de investigación.
Los creadores detrás de los teoremas
Los libros de matemáticas suelen producir una impresión curiosa: un teorema aparece terminado, limpio y perfectamente ordenado.
Pero el proceso real que condujo a él pudo incluir años de intentos, errores, correspondencia, competencia, colaboración y circunstancias históricas extraordinariamente complejas.
Soifer intenta recuperar ese contexto.
Entre los matemáticos que aparecen en la historia se encuentran figuras como
Bartel Leendert van der Waerden
Paul Erdős
Nicolaas Govert de Bruijn
Paul Erdős
Hugo Hadwiger
Edward Nelson
Ronald Graham
Branko Grünbaum
y muchos otros matemáticos relacionados con la combinatoria y la coloración.
Van der Waerden: matemáticas e historia
Una parte especialmente amplia de la obra está relacionada con Bartel Leendert van der Waerden, uno de los grandes algebristas del siglo XX y protagonista de uno de los teoremas fundamentales de la combinatoria.
Soifer no se limita a estudiar sus contribuciones matemáticas. También investiga aspectos controvertidos de su trayectoria durante el período del nacionalsocialismo alemán.
Esto introduce en el libro una cuestión que normalmente queda fuera de los textos matemáticos:
Paul Erdős
La teoría combinatoria del siglo XX resulta difícil de imaginar sin Paul Erdős.
Erdős trabajó en teoría de números, combinatoria, teoría de grafos, probabilidad y muchas otras áreas, colaborando con centenares de matemáticos.
Los problemas de coloración y los problemas de Ramsey ocuparon una parte importante de su investigación.
Una expresión típica de esta filosofía consiste en buscar un número mínimo \(N\) que garantice la existencia de cierta configuración:
La dificultad suele estar en demostrar que tal número existe y después en determinarlo o estimarlo.
El principio del palomar
Muchos argumentos combinatorios utilizan una idea extremadamente sencilla: el principio del palomar.
Si colocamos \(n+1\) objetos en \(n\) cajas, alguna caja debe contener al menos dos objetos.
Más generalmente, si distribuimos \(N\) objetos entre \(k\) cajas, alguna caja contiene al menos
objetos.
A pesar de su sencillez, este principio es una de las herramientas más poderosas de la combinatoria y aparece repetidamente detrás de argumentos de existencia.
Demostraciones probabilísticas
La combinatoria moderna también utiliza métodos probabilísticos.
En lugar de construir directamente un objeto con cierta propiedad, podemos considerar un objeto elegido al azar y demostrar que la probabilidad de satisfacer la propiedad deseada es positiva.
Entonces necesariamente existe al menos un objeto que la satisface.
Esquemáticamente,
Este cambio conceptual, desarrollado ampliamente en combinatoria durante el siglo XX, permitió demostrar resultados cuya construcción explícita podía resultar extremadamente difícil.
Problemas fáciles de formular, difíciles de resolver
Una de las ideas que atraviesa todo el libro es que la profundidad matemática no siempre está relacionada con la dificultad de comprender el enunciado.
Preguntar cuántos colores necesitamos, si existe un triángulo monocromático o si aparece una progresión aritmética puede comprenderse con muy poca preparación.
Sin embargo, resolver completamente esas preguntas puede requerir combinatoria avanzada, geometría, teoría de grafos, teoría de números y décadas de investigación.
Esa combinación convierte a los problemas de coloración en una excelente puerta de entrada a las matemáticas de investigación.
Matemáticas para estudiantes y matemáticos
Soifer escribió el libro con la intención de atraer tanto a matemáticos como a lectores jóvenes interesados en problemas elegantes.
Muchas preguntas pueden formularse sin conocimientos universitarios avanzados, pero detrás de ellas aparece una teoría suficientemente rica como para continuar siendo objeto de investigación profesional.
Este equilibrio entre accesibilidad y profundidad es uno de los aspectos más atractivos de la obra.
Una especie de novela matemática
Una descripción especialmente apropiada de la obra es pensarla como una historia de investigación matemática.
Los problemas aparecen, evolucionan, cambian de manos y vuelven a surgir años después. Las demostraciones se perfeccionan y las atribuciones históricas pueden ser discutidas o corregidas.
Así, el lector no recibe solamente el resultado final, sino que observa parte del proceso mediante el cual una teoría matemática adquiere forma.
Contenido de la obra
Polígonos coloreados y progresiones aritméticas
Número cromático del plano
Historia del problema de Hadwiger-Nelson
Número policromático del plano
Teorema de De Bruijn-Erdős
Coloraciones medibles
Coloración en el espacio
Coloraciones racionales
Coloración de grafos
Número cromático de un grafo
Dimensión de grafos
Grafos cromáticos embebidos en el plano
Coloración de aristas
Problemas de Ramsey
Teorema de van der Waerden
Historia de la combinatoria
Biografías de sus protagonistas
Matemáticas durante el período de entreguerras
Historia y ética de la actividad matemática
Una obra con abundante material histórico
La edición contiene además una gran cantidad de material gráfico. Springer registra 343 ilustraciones en blanco y negro y 10 en color.
Las fotografías históricas y los documentos son importantes porque refuerzan una de las tesis implícitas del libro:
¿Para quién está pensado?
The Mathematical Coloring Book puede resultar especialmente interesante para estudiantes de matemática discreta, combinatoria, teoría de grafos y teoría de números.
También es una excelente lectura para quienes disfrutan de la historia de las matemáticas y quieren conocer no solamente los resultados sino las personas, disputas, colaboraciones y circunstancias en las que surgieron.
Los problemas más elementales pueden servir incluso para estudiantes preuniversitarios interesados en olimpiadas y resolución de problemas, mientras que las secciones históricas y matemáticas más profundas resultan de interés para estudiantes universitarios e investigadores.
Datos del libro
Título: The Mathematical Coloring Book
Subtítulo: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of Its Creators
Editorial: Springer New York
Edición: Primera edición
Año: 2009
Extensión: XXX + 607 páginas
Ilustraciones: 343 en blanco y negro y 10 en color
ISBN: 978-0-387-74640-1
eBook ISBN: 978-0-387-74642-5
DOI: 10.1007/978-0-387-74642-5
Idioma: Inglés
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