Second Year Calculus: From Celestial Mechanics to Special Relativity, de David M. Bressoud, es una introducción al cálculo multivariable y vectorial construida alrededor de una idea particularmente atractiva: mostrar cómo muchas de las grandes herramientas del cálculo surgieron de problemas concretos de la física.
El recorrido comienza con la mecánica de Isaac Newton, continúa con el estudio de órbitas, campos, integrales, formas diferenciales y teoremas fundamentales del cálculo vectorial, y culmina con las ecuaciones de James Clerk Maxwell y la relatividad especial de Einstein.
Por ello, no es simplemente otro manual de cálculo en varias variables. Bressoud intenta mostrar la relación histórica y conceptual entre matemáticas y física: cómo una necesidad física conduce a una estructura matemática y cómo, en ocasiones, esa misma estructura matemática termina revelando aspectos inesperados de la realidad.
De Newton a Einstein
El punto de partida del libro es una de las expresiones más famosas de la mecánica:
La segunda ley de Newton permite relacionar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo con la evolución de su movimiento. Cuando la fuerza depende de la posición, esta ecuación conduce naturalmente a ecuaciones diferenciales.
En el caso de la gravitación universal, dos masas \(M\) y \(m\), separadas por una distancia \(r\), experimentan una fuerza cuya magnitud es
La combinación entre esta ley y el cálculo permitió explicar matemáticamente el movimiento de los planetas y recuperar las leyes empíricas de Kepler.
Mecánica celeste
Uno de los primeros grandes temas del texto es precisamente la mecánica celeste. El movimiento planetario proporciona una motivación natural para estudiar curvas en el espacio, vectores, derivadas y ecuaciones diferenciales.
Si la posición de una partícula está dada por
su velocidad y aceleración son
De esta forma, el cálculo diferencial aparece como el lenguaje natural para describir el movimiento.
Álgebra vectorial
Antes de desarrollar plenamente el cálculo multivariable, Bressoud estudia las herramientas fundamentales del álgebra vectorial.
Para dos vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), el producto escalar puede escribirse como
mientras que en tres dimensiones el producto vectorial satisface
Estas operaciones aparecen constantemente en mecánica, geometría y electromagnetismo.
Formas diferenciales
Una de las características más interesantes del libro es que introduce las formas diferenciales relativamente pronto y las utiliza como lenguaje unificador del cálculo multivariable.
Una 1-forma en tres dimensiones puede escribirse, por ejemplo, como
Este lenguaje permite tratar integrales de línea, integrales de superficie y muchos resultados clásicos del cálculo vectorial dentro de una misma estructura matemática.
Integrales de línea y múltiples
El texto desarrolla posteriormente la integración en dimensiones superiores. Para un campo vectorial \(\mathbf{F}\) y una curva \(C\), una integral de línea tiene la forma
En física, una expresión de este tipo puede representar el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria.
Las integrales dobles y triples permiten extender el mismo razonamiento a superficies y volúmenes:
El cálculo diferencial en varias variables
En una función de varias variables,
la derivada adquiere una estructura más rica que en el cálculo de una sola variable.
El gradiente,
señala la dirección de máximo crecimiento local de la función.
Esta herramienta aparece en problemas de optimización, mecánica, termodinámica y teoría de campos.
El Teorema Fundamental del Cálculo en varias dimensiones
Uno de los objetivos conceptuales más importantes de la obra es mostrar que varios grandes teoremas del análisis vectorial pueden entenderse como distintas manifestaciones de un mismo principio.
En el lenguaje de las formas diferenciales, el teorema generalizado de Stokes puede escribirse elegantemente como
Esta expresión contiene, bajo diferentes elecciones de \(M\) y \(\omega\), resultados clásicos como el Teorema Fundamental del Cálculo, el teorema de Green, el teorema de la divergencia y el teorema de Stokes.
La fórmula muestra una idea extraordinariamente profunda: la integral sobre la frontera de una región está relacionada con una derivada integrada sobre su interior.
Campos y electromagnetismo
El cálculo vectorial alcanza una de sus aplicaciones más naturales en el electromagnetismo.
Los campos eléctrico y magnético,
dependen de la posición y del tiempo. Para describir su comportamiento se necesitan precisamente las herramientas de derivación e integración desarrolladas durante el libro.
Las ecuaciones de Maxwell constituyen uno de los ejemplos más notables de esta relación entre estructuras matemáticas y leyes físicas.
Del electromagnetismo a la relatividad
La última parte del recorrido conduce hacia la relatividad especial.
Las ecuaciones de Maxwell poseían una estructura que no encajaba naturalmente con las transformaciones de la mecánica newtoniana. Esta tensión histórica desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría especial de la relatividad.
En ella, espacio y tiempo dejan de ser entidades completamente independientes y pasan a formar parte de una estructura conjunta: el espacio-tiempo.
La relación energía-masa,
se convirtió en una de las consecuencias más célebres de esta nueva concepción física.
Una historia del cálculo contada mediante la física
Uno de los mayores atractivos de Second Year Calculus es que el autor no presenta los conceptos matemáticos como objetos que aparecieron aisladamente.
El libro recupera parte del contexto histórico en el que surgieron: Newton y el movimiento planetario, el desarrollo del cálculo vectorial, los campos electromagnéticos de Maxwell y finalmente la transformación de nuestra concepción del espacio y el tiempo con Einstein.
Bressoud muestra así un proceso que se repite constantemente en la historia de la ciencia: la física plantea problemas a las matemáticas, las matemáticas construyen nuevas herramientas y esas herramientas terminan permitiendo descubrir nueva física.
Contenido de la obra
1. F = ma
2. Vector Algebra
3. Celestial Mechanics
4. Differential Forms
5. Line Integrals, Multiple Integrals
6. Linear Transformations
7. Differential Calculus
8. Integration by Pullback
9. Techniques of Differential Calculus
10. The Fundamental Theorem of Calculus
11. E = mc²
El recorrido incluye además temas como determinantes, transformaciones lineales, derivadas direccionales, regla de la cadena, cambio de variables, integrales de superficie, flujo de calor, diferenciación implícita, multiplicadores de Lagrange, potenciales, teorema de la divergencia, teorema de Stokes, electromagnetismo y relatividad especial.
¿Para quién está pensado?
El libro está dirigido principalmente a estudiantes que ya han cursado un primer año de cálculo y desean avanzar hacia el cálculo multivariable.
Resultará especialmente atractivo para quienes prefieren aprender matemáticas entendiendo de dónde surgen los conceptos y cómo se utilizan en física, en lugar de estudiar únicamente una sucesión de técnicas computacionales.
También sirve como un excelente puente hacia cursos posteriores de ecuaciones diferenciales, análisis matemático, geometría diferencial y física matemática.
Datos del libro
Título: Second Year Calculus
Subtítulo: From Celestial Mechanics to Special Relativity
Colección: Undergraduate Texts in Mathematics
Subserie: Readings in Mathematics
Editorial: Springer New York
Año: 1991
Edición: Primera edición
Páginas: 404
ISBN: 978-0-387-97606-8
eBook ISBN: 978-1-4612-0959-1
DOI: 10.1007/978-1-4612-0959-1
Idioma: Inglés
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