Algebra, de B. L. van der Waerden, es una de las obras más influyentes en la historia del álgebra moderna. Publicada originalmente en alemán bajo el título Moderne Algebra entre 1930 y 1931, la obra contribuyó decisivamente a establecer la forma estructural y axiomática con la que hoy se estudian grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales y otras estructuras algebraicas.
El libro surgió en buena medida de las ideas que van der Waerden conoció durante las clases de Emil Artin y Emmy Noether. A la claridad expositiva de Artin y al enfoque estructural de Noether, van der Waerden añadió una notable capacidad de síntesis, reuniendo en dos volúmenes una gran parte del álgebra que estaba transformándose profundamente durante las primeras décadas del siglo XX.
Esta edición inglesa de Springer conserva la obra en dos volúmenes complementarios. El primero desarrolla los fundamentos de la teoría de grupos, anillos, cuerpos, polinomios y teoría de Galois; el segundo continúa con álgebra lineal, álgebras, representaciones, teoría de ideales, valuaciones y funciones algebraicas.
El nacimiento del álgebra moderna
Durante gran parte de su historia, el álgebra estuvo asociada principalmente con la resolución de ecuaciones. A comienzos del siglo XX comenzó a producirse un cambio fundamental: los matemáticos empezaron a interesarse menos por objetos particulares y más por las estructuras generales que compartían esos objetos.
En lugar de estudiar únicamente ecuaciones específicas, se comenzaron a investigar estructuras como
Estas expresiones representan, respectivamente, estructuras como grupos, anillos y cuerpos. Lo importante ya no es solamente qué objetos contienen, sino las propiedades abstractas que satisfacen sus operaciones.
El libro de van der Waerden desempeñó un papel fundamental en la difusión de esta nueva forma de entender el álgebra.
Volume I
El primer volumen construye los fundamentos sobre los que se desarrolla gran parte del álgebra abstracta moderna. Comienza con números y conjuntos y posteriormente introduce grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, polinomios y extensiones de cuerpos.
Numbers and Sets
Groups
Rings and Fields
Vector Spaces and Tensor Spaces
Polynomials
Theory of Fields
Continuation of Group Theory
The Galois Theory
Ordering and Well Ordering of Sets
Infinite Field Extensions
Real Fields
Grupos
Una de las estructuras fundamentales es el grupo. Un grupo \(G\) posee una operación que satisface propiedades como asociatividad, existencia de elemento identidad y existencia de inversos.
Por ejemplo, si \(a,b,c\in G\),
La teoría de grupos permite estudiar matemáticamente conceptos relacionados con simetrías, transformaciones y permutaciones.
Si \(H\) es un subgrupo normal de \(G\), podemos construir el grupo cociente
Este tipo de construcción aparece continuamente en álgebra y constituye una de las ideas estructurales que se volvieron centrales durante el siglo XX.
Anillos y cuerpos
Los anillos generalizan muchas propiedades aritméticas de los números enteros. Un ejemplo fundamental es
mientras que los números racionales, reales y complejos son ejemplos de cuerpos:
Dentro de un anillo aparecen estructuras especialmente importantes llamadas ideales. Si \(I\) es un ideal de \(R\), es posible construir un anillo cociente:
La teoría de ideales desempeña un papel fundamental en álgebra conmutativa, teoría de números y geometría algebraica.
Polinomios
Los polinomios reciben un tratamiento estructural. Si \(K\) es un cuerpo, el conjunto de polinomios con coeficientes en \(K\) forma el anillo
Un polinomio
puede estudiarse desde el punto de vista de su factorización, irreducibilidad y relación con extensiones de cuerpos.
Este enfoque prepara el camino para uno de los grandes temas del primer volumen: la teoría de Galois.
Teoría de cuerpos
Si \(K\) está contenido en un cuerpo mayor \(L\),
decimos que \(L\) es una extensión de \(K\), y escribimos
Un elemento \(\alpha\in L\) es algebraico sobre \(K\) si existe un polinomio no nulo \(f(x)\in K[x]\) tal que
El estudio sistemático de estas extensiones permite comprender profundamente la estructura de las ecuaciones algebraicas.
Teoría de Galois
La teoría de Galois establece una de las conexiones más profundas del álgebra: relaciona las soluciones de ecuaciones polinómicas con la teoría de grupos.
Para una extensión adecuada \(L/K\), se considera el grupo
formado por los automorfismos del cuerpo \(L\) que dejan fijos los elementos de \(K\).
La correspondencia entre ciertos subgrupos de este grupo y ciertos subcuerpos de \(L\) constituye el corazón del teorema fundamental de la teoría de Galois.
Volume II
El segundo volumen continúa allí donde termina el primero y desarrolla una colección de temas más especializados. Aparecen álgebra lineal, teoría general de álgebras, representaciones de grupos y álgebras, teoría de ideales, valuaciones y funciones algebraicas.
Linear Algebra
Algebras
Representation Theory of Groups and Algebras
General Ideal Theory of Commutative Rings
Theory of Polynomial Ideals
Integral Algebraic Elements
Fields with Valuations
Algebraic Functions of One Variable
Topological Algebra
Álgebra lineal
En el segundo volumen, van der Waerden desarrolla el álgebra lineal desde una perspectiva abstracta. Si \(V\) y \(W\) son espacios vectoriales, una aplicación
es lineal cuando
La teoría permite estudiar espacios vectoriales, transformaciones, matrices, determinantes y formas algebraicas dentro de un mismo marco.
Álgebras
Una álgebra sobre un cuerpo combina simultáneamente una estructura de espacio vectorial y una operación multiplicativa.
Estas estructuras permiten estudiar, dentro de un mismo lenguaje, matrices, operadores lineales, extensiones de cuerpos y otros objetos fundamentales.
Representaciones
La teoría de representaciones permite estudiar grupos abstractos mediante transformaciones lineales.
Una representación puede escribirse como un homomorfismo
donde \(\operatorname{GL}(V)\) es el grupo de transformaciones lineales invertibles de un espacio vectorial \(V\).
De esta forma, problemas abstractos sobre grupos pueden traducirse en problemas sobre matrices y operadores lineales.
Teoría de ideales
Una parte importante del segundo volumen está dedicada a la teoría general de ideales en anillos conmutativos y a los ideales de anillos de polinomios.
Para un anillo \(R\), un ideal \(I\) permite construir el cociente
La estructura de estos ideales contiene información esencial sobre el propio anillo y constituye uno de los fundamentos históricos del álgebra conmutativa moderna.
Elementos algebraicos enteros
Van der Waerden estudia también los elementos que son enteros sobre un anillo. Un elemento \(\alpha\) es entero sobre \(R\) cuando satisface una ecuación mónica
con coeficientes
Esta noción desempeña un papel central en teoría algebraica de números y geometría algebraica.
Valuaciones
El segundo volumen introduce además cuerpos provistos de valuaciones. Una valuación permite asignar a los elementos de un cuerpo una medida algebraica de tamaño u orden.
Estas ideas son fundamentales para comprender cuerpos \(p\)-ádicos, teoría de números y geometría algebraica.
Funciones algebraicas
Hacia el final de la obra aparecen las funciones algebraicas de una variable. Una función algebraica puede quedar relacionada mediante una ecuación polinómica
Este punto de vista conduce naturalmente hacia el estudio de curvas algebraicas y constituye uno de los puentes entre álgebra y geometría.
Una obra histórica
La importancia de Algebra no se debe únicamente a los teoremas que contiene. Su mayor influencia histórica reside en la forma de organizar el álgebra alrededor de estructuras y relaciones.
Antes de la aparición de Moderne Algebra, muchas de estas teorías se estudiaban de forma mucho más separada. Van der Waerden mostró que grupos, anillos, cuerpos, ideales y extensiones podían formar parte de una misma arquitectura conceptual.
La obra ayudó así a transmitir a generaciones de matemáticos las ideas estructurales desarrolladas por figuras como Emmy Noether y Emil Artin.
Dos volúmenes que forman una sola obra
Aunque Springer los publica como dos libros independientes, los dos volúmenes deben entenderse como partes de una misma obra.
El Volume I proporciona las estructuras fundamentales y desarrolla la teoría de Galois, mientras que el Volume II amplía el panorama hacia representaciones, teoría de ideales, valuaciones y funciones algebraicas.
Por ese motivo resulta mucho más natural conservar ambos tomos juntos en una sola entrada.
Datos de la obra
Título: Algebra
Volúmenes: I y II
Idioma: Inglés
Editorial de esta edición: Springer New York
Primera publicación de la obra: 1930–1931, como Moderne Algebra
Traducción inglesa original: 1970
Edición Springer: 1991
Primera impresión en tapa blanda: 2003
Volume I
XIV + 265 páginas
ISBN: 978-0-387-40624-4
eBook ISBN: 978-1-4612-4420-2
DOI: 10.1007/978-1-4612-4420-2
Volume II
XII + 284 páginas
ISBN: 978-0-387-40625-1
eBook ISBN: 978-1-4684-9999-5
DOI: 10.1007/978-1-4684-9999-5
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