Handbook of Mathematical Induction: Theory and Applications, de David S. Gunderson, es una extensa obra dedicada a uno de los métodos de demostración más importantes de las matemáticas: la inducción matemática.
Aunque la inducción suele presentarse por primera vez mediante ejercicios relativamente sencillos sobre números naturales, su alcance es mucho mayor. Puede utilizarse en teoría de números, combinatoria, álgebra, teoría de grafos, geometría, sucesiones, algoritmos, probabilidad y muchas otras áreas de las matemáticas.
¿Qué es la inducción matemática?
Supongamos que queremos demostrar que una proposición \(P(n)\) es verdadera para todos los números naturales \(n\) a partir de cierto valor inicial. El principio de inducción establece, esencialmente, que basta demostrar dos cosas.
Si ambos pasos son válidos, podemos concluir que
La idea suele compararse con una fila infinita de fichas de dominó: si la primera cae y cada ficha hace caer a la siguiente, entonces todas terminarán cayendo.
Sin embargo, esta analogía representa solamente la forma más elemental del principio. Uno de los atractivos del libro de Gunderson es precisamente mostrar la enorme variedad de métodos inductivos que existen.
Mucho más que la inducción ordinaria
El texto estudia la inducción simple, la inducción fuerte, la inducción doble, el descenso infinito y otras variantes del método. También introduce técnicas considerablemente más avanzadas relacionadas con conjuntos bien ordenados, ordinales, cardinales e inducción transfinita.
La inducción fuerte, por ejemplo, permite utilizar como hipótesis todas las proposiciones anteriores:
Esta formulación resulta particularmente natural en problemas donde un objeto depende de varios casos anteriores, como sucede en muchas sucesiones recurrentes, algoritmos y argumentos combinatorios.
Teoría y aplicaciones
Una característica importante de esta obra es que no se limita a explicar la teoría. Gunderson muestra cómo reconocer cuándo un problema puede resolverse mediante inducción y, sobre todo, cómo construir correctamente la demostración.
El libro contiene más de 750 ejercicios y numerosos ejemplos que muestran aplicaciones del razonamiento inductivo en campos muy diversos. Entre los temas tratados aparecen:
- identidades y sumatorias;
- desigualdades;
- teoría de números;
- sucesiones;
- teoría de conjuntos;
- lógica y lenguaje matemático;
- teoría de grafos;
- recursión y algoritmos;
- álgebra lineal y abstracta;
- geometría;
- teoría de Ramsey;
- probabilidad y estadística.
Un ejemplo clásico
Consideremos la identidad
Para \(n=1\),
Supongamos ahora que la fórmula es cierta para algún \(k\):
Al añadir el siguiente término obtenemos
La expresión obtenida es justamente la fórmula correspondiente a \(n=k+1\). Por lo tanto, el resultado queda demostrado para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Este ejemplo es elemental, pero el mismo principio lógico puede aparecer oculto dentro de demostraciones considerablemente más sofisticadas. Precisamente esa variedad constituye el tema central de la obra.
Estructura del libro
La obra está organizada en grandes bloques dedicados a la teoría, las aplicaciones y ejercicios y las soluciones o sugerencias. Los capítulos son en buena medida autocontenidos y abarcan desde argumentos básicos hasta técnicas inductivas avanzadas.
El resultado es tanto un texto para aprender inducción como una extensa colección de problemas y ejemplos de consulta. Es especialmente útil para estudiantes de matemáticas, participantes en cursos de demostración y lectores interesados en matemática discreta y resolución de problemas.
Datos del libro
Título: Handbook of Mathematical Induction
Subtítulo: Theory and Applications
Edición: Primera edición
Editorial: Chapman & Hall/CRC
Colección: Discrete Mathematics and Its Applications
Año: 2011
Páginas: xxv + 893
ISBN-10: 1420093649
ISBN-13: 9781420093643
Idioma: Inglés
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