Algebra, de Serge Lang, es uno de los grandes textos clásicos
de álgebra a nivel universitario avanzado. Esta tercera edición revisada fue
concebida como texto para un curso anual de posgrado y también como obra de
consulta para matemáticos y lectores que utilizan álgebra de nivel superior.
La obra cubre una parte extraordinariamente amplia del álgebra moderna:
grupos, anillos, módulos, polinomios, extensiones de cuerpos, teoría de
Galois, álgebra lineal, representaciones, productos tensoriales y álgebra
homológica, entre muchos otros temas.
Una de las características de Lang es que presenta el álgebra no como una
colección aislada de técnicas, sino como un lenguaje capaz de conectar
diferentes áreas de las matemáticas.
Del cálculo al álgebra abstracta
En los primeros cursos de matemáticas estamos acostumbrados a trabajar con
números, ecuaciones y matrices concretas. El álgebra abstracta da un paso
más: estudia las estructuras que se encuentran detrás de esas
operaciones.
Por ejemplo, un grupo es un conjunto \(G\) provisto de una operación
\(\ast\) que satisface ciertas propiedades fundamentales.
\[
(G,\ast)
\]
La asociatividad exige que
\[
(a\ast b)\ast c
=
a\ast(b\ast c),
\qquad
a,b,c\in G.
\]
Debe existir además un elemento neutro \(e\) tal que
\[
e\ast a=a\ast e=a,
\]
y cada elemento \(a\) debe poseer un inverso \(a^{-1}\):
\[
a\ast a^{-1}
=
a^{-1}\ast a
=
e.
\]
Esta estructura aparentemente sencilla aparece en geometría, teoría de
números, física matemática, ecuaciones algebraicas y muchas otras áreas.
Grupos
La obra comienza precisamente con la teoría de grupos. Lang desarrolla
conceptos como subgrupos, grupos cociente, homomorfismos, productos,
acciones de grupos y otras construcciones fundamentales.
Si
\[
f:G\longrightarrow H
\]
es un homomorfismo de grupos, entonces preserva la operación:
\[
f(ab)=f(a)f(b).
\]
Esta idea de preservar estructura es una de las nociones centrales de toda
el álgebra moderna.
Anillos y cuerpos
Después de los grupos aparecen estructuras con dos operaciones, como los
anillos. Los números enteros
\[
\mathbb{Z}
\]
constituyen uno de los ejemplos fundamentales.
En un anillo pueden estudiarse ideales, divisibilidad, factorización,
homomorfismos y cocientes. Estas ideas conducen posteriormente a una teoría
más general de cuerpos y extensiones algebraicas.
Los números racionales, reales y complejos,
\[
\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C},
\]
son ejemplos familiares de cuerpos, pero la teoría algebraica permite
construir muchos otros.
Módulos
Los módulos generalizan la noción de espacio vectorial. En un espacio
vectorial los escalares pertenecen a un cuerpo; en un módulo pueden
pertenecer a un anillo.
Si \(R\) es un anillo y \(M\) un \(R\)-módulo, podemos multiplicar elementos
de \(M\) por escalares de \(R\):
\[
R\times M\longrightarrow M.
\]
Esta generalización resulta fundamental en álgebra conmutativa, geometría
algebraica y álgebra homológica.
Polinomios
Lang dedica también un tratamiento amplio a los anillos de polinomios.
Una expresión
\[
f(x)
=
a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n
\]
puede estudiarse no solamente como una función, sino como un objeto
algebraico perteneciente al anillo
\[
R[x].
\]
Esta perspectiva permite estudiar irreducibilidad, factorización,
raíces y extensiones de cuerpos de manera sistemática.
Extensiones algebraicas
Uno de los grandes temas del libro es el estudio de extensiones de cuerpos.
Si \(K\) es un cuerpo contenido en otro cuerpo \(L\), escribimos
\[
K\subseteq L.
\]
La extensión se denota habitualmente por
\[
L/K.
\]
Un elemento \(\alpha\in L\) es algebraico sobre \(K\) cuando satisface una
ecuación polinómica no trivial con coeficientes en \(K\):
\[
a_n\alpha^n+\cdots+a_1\alpha+a_0=0.
\]
Esta idea conduce directamente a uno de los capítulos más importantes
del álgebra moderna: la teoría de Galois.
Teoría de Galois
La teoría de Galois establece un vínculo extraordinario entre
ecuaciones polinómicas y teoría de grupos.
Dada una extensión de cuerpos \(L/K\), puede considerarse el conjunto de
automorfismos de \(L\) que dejan fijos los elementos de \(K\):
\[
\operatorname{Gal}(L/K).
\]
Este conjunto posee estructura de grupo y permite estudiar propiedades
profundas de las ecuaciones algebraicas.
La teoría explica, entre otras cosas, por qué existen fórmulas generales
mediante radicales para ecuaciones de grados bajos y por qué una ecuación
polinómica general de quinto grado no admite una fórmula análoga.
Álgebra lineal y representaciones
La obra vuelve posteriormente al álgebra lineal, pero desde una perspectiva
mucho más abstracta. Se estudian aplicaciones lineales, matrices, formas
bilineales, productos tensoriales y representaciones de grupos finitos.
Una aplicación lineal
\[
T:V\longrightarrow W
\]
satisface
\[
T(\alpha v+\beta w)
=
\alpha T(v)+\beta T(w).
\]
La teoría de representaciones permite, a su vez, estudiar grupos mediante
transformaciones lineales y matrices.
Producto tensorial
Otro concepto importante desarrollado por Lang es el
producto tensorial. Dados dos espacios vectoriales o módulos
\(V\) y \(W\), se construye un nuevo objeto
\[
V\otimes W.
\]
Aunque inicialmente puede parecer una construcción muy abstracta, los
productos tensoriales aparecen de forma natural en geometría diferencial,
topología, teoría de representaciones y física matemática.
Álgebra homológica
La parte final del libro introduce herramientas de
álgebra homológica, una rama que estudia estructuras algebraicas
mediante complejos, homología y sucesiones exactas.
Una sucesión típica puede escribirse como
\[
\cdots
\longrightarrow
A_{n+1}
\xrightarrow{d_{n+1}}
A_n
\xrightarrow{d_n}
A_{n-1}
\longrightarrow
\cdots
\]
con la condición
\[
d_n\circ d_{n+1}=0.
\]
La homología mide, en cierto sentido, la diferencia entre los elementos
que son enviados a cero y aquellos que provienen del término anterior.
Estas ideas se han convertido en herramientas esenciales de la matemática
moderna.
Contenido de la obra
El libro desarrolla un recorrido muy amplio que incluye grupos, anillos,
módulos, polinomios, extensiones algebraicas, teoría de Galois, extensiones
de anillos, extensiones trascendentes, espacios algebraicos, anillos y
módulos noetherianos, cuerpos reales, valores absolutos, matrices,
aplicaciones lineales, formas bilineales, productos tensoriales,
representaciones de grupos finitos y álgebra homológica.
Por ello no se trata de una introducción elemental. Está pensado
principalmente para estudiantes que ya poseen una base matemática sólida
y desean avanzar hacia el álgebra abstracta de nivel universitario superior
o de posgrado.
Un clásico de la enseñanza del álgebra
La influencia de esta obra ha sido considerable. El enfoque de Serge Lang
contribuyó a incorporar de manera natural ideas procedentes de la teoría de
categorías y del álgebra homológica dentro de la enseñanza estándar del
álgebra a nivel de posgrado.
La amplitud del contenido hace que pueda utilizarse tanto como libro de
estudio como obra de referencia. La tercera edición revisada incorpora
ejercicios adicionales y numerosas correcciones respecto de versiones
anteriores.
Datos del libro
Autor: Serge Lang
Título: Algebra
Edición: Revised Third Edition
Colección: Graduate Texts in Mathematics
Volumen: 211
Editorial: Springer-Verlag New York
Año: 2002
Páginas: XV + 914
Hardcover ISBN: 978-0-387-95385-4
eBook ISBN: 978-1-4613-0041-0
DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0
Idioma: Inglés
