Introducción al Cálculo Diferencial — desde la idea, no desde la fórmula
El cálculo diferencial no nace de reglas para derivar funciones. Nace de una pregunta más profunda:
¿Qué mide realmente un velocímetro?
1) Continuidad
Si una función es continua en x₀, entonces:
$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) $$2) Velocidad media
Si un auto tiene posición f(t), su velocidad media entre dos instantes es:
$$ \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} $$Pero eso no es lo que marca el velocímetro.
3) Velocidad instantánea — nace la derivada
Cuando el intervalo se hace infinitamente pequeño aparece la velocidad instantánea:
$$ f'(x_0)= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$4) Interpretación geométrica: la recta tangente
La derivada también es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto \((a,f(a))\):
$$ y=f(a)+f'(a)(x-a) $$5) Dónde falla la derivada
No toda función continua es derivable. Picos, esquinas o comportamientos especiales (como \( |x| \) en 0) muestran que la derivabilidad es un fenómeno más delicado que la continuidad.
6) Límite trigonométrico fundamental
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$De aquí se obtiene que:
$$ (\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x $$Idea central
El cálculo diferencial estudia cómo cambia una cantidad en un instante.
- Parte de la continuidad
- Pasa por la velocidad media
- Llega al límite que define la velocidad instantánea
- Interpreta ese límite como pendiente de una tangente
- Luego aparecen las reglas para calcular derivadas
Antes de aprender a derivar, hay que entender qué significa derivar.
