Introducción al Cálculo (fc uni)

 

Introducción al Cálculo Diferencial — desde la idea, no desde la fórmula

El cálculo diferencial no nace de reglas para derivar funciones. Nace de una pregunta más profunda:

¿Qué mide realmente un velocímetro?

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1) Continuidad

Si una función es continua en x₀, entonces:

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) $$

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2) Velocidad media

Si un auto tiene posición f(t), su velocidad media entre dos instantes es:

$$ \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} $$

Pero eso no es lo que marca el velocímetro.

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3) Velocidad instantánea — nace la derivada

Cuando el intervalo se hace infinitamente pequeño aparece la velocidad instantánea:

$$ f'(x_0)= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$

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4) Interpretación geométrica: la recta tangente

La derivada también es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto \((a,f(a))\):

$$ y=f(a)+f'(a)(x-a) $$

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5) Dónde falla la derivada

No toda función continua es derivable. Picos, esquinas o comportamientos especiales (como \( |x| \) en 0) muestran que la derivabilidad es un fenómeno más delicado que la continuidad.

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6) Límite trigonométrico fundamental

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

De aquí se obtiene que:

$$ (\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x $$

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Idea central

El cálculo diferencial estudia cómo cambia una cantidad en un instante.

1. Parte de la continuidad
2. Pasa por la velocidad media
3. Llega al límite que define la velocidad instantánea
4. Interpreta ese límite como pendiente de una tangente
5. Luego aparecen las reglas para calcular derivadas

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Antes de aprender a derivar, hay que entender qué significa derivar.

 

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