Obras completas, de Kurt Gödel, en edición y traducción de Jesús Mosterín, reúne en español los principales escritos publicados de uno de los lógicos y matemáticos más importantes del siglo XX.
Gödel transformó profundamente nuestra comprensión de la lógica, los fundamentos de la matemática y los límites de los sistemas formales. Sus resultados mostraron que preguntas aparentemente abstractas sobre axiomas, demostraciones y verdad matemática podían conducir a conclusiones extraordinariamente profundas.
Entre sus aportaciones más célebres se encuentran el teorema de completitud de la lógica de primer orden, los teoremas de incompletitud, sus resultados sobre el axioma de elección y la hipótesis del continuo y, en un terreno muy diferente, una sorprendente solución cosmológica de las ecuaciones de Einstein.
Kurt Gödel y los fundamentos de la matemática
A comienzos del siglo XX, una de las grandes ambiciones de la lógica matemática consistía en construir fundamentos completamente rigurosos para las matemáticas.
El programa asociado a David Hilbert buscaba formalizar amplias partes de la matemática mediante sistemas de axiomas y reglas de inferencia claramente especificados.
De forma esquemática, un sistema formal parte de un conjunto de axiomas \(T\) y utiliza reglas lógicas para obtener teoremas:
La expresión anterior significa que la proposición \(\varphi\) puede ser demostrada formalmente a partir de los axiomas de \(T\).
Gödel demostraría que el panorama era mucho más sutil de lo que podía imaginarse.
El teorema de completitud
En 1930 Gödel obtuvo uno de sus primeros grandes resultados: el teorema de completitud para la lógica de primer orden.
En términos modernos, si una fórmula \(\varphi\) es consecuencia lógica de un conjunto de axiomas \(T\),
entonces existe una demostración formal de \(\varphi\) a partir de \(T\):
Podemos expresarlo de forma compacta como
La completitud establece así una conexión fundamental entre verdad semántica y demostrabilidad sintáctica dentro de la lógica de primer orden.
Entonces, ¿por qué existe la incompletitud?
A primera vista puede parecer extraño que Gödel demostrase primero un teorema de completitud y poco después sus famosos teoremas de incompletitud.
No existe contradicción. Los dos resultados se refieren a cuestiones diferentes.
Incompletitud: se refiere a determinadas teorías formales suficientemente potentes para expresar aritmética.
Esta distinción es esencial para comprender correctamente la obra de Gödel.
El primer teorema de incompletitud
En 1931 Gödel publicó Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, uno de los artículos más influyentes de la historia de la lógica.
Simplificando considerablemente, el primer teorema establece que en todo sistema formal consistente, efectivamente axiomatizable y suficientemente expresivo para contener una cantidad adecuada de aritmética existen proposiciones que no pueden ser demostradas ni refutadas dentro del propio sistema.
Esquemáticamente, existe una sentencia \(G\) tal que
Por tanto, el sistema es incompleto.
El resultado mostró que no podemos esperar que un único sistema formal razonablemente efectivo capture mediante demostraciones todas las verdades aritméticas.
La idea de la sentencia de Gödel
Una de las ideas más ingeniosas de la demostración consiste en codificar expresiones y demostraciones mediante números naturales, procedimiento conocido como numeración de Gödel.
De esta manera, el propio sistema aritmético puede formular afirmaciones acerca de expresiones, demostraciones y propiedades metamatemáticas.
Gödel construye finalmente una proposición que, de manera muy aproximada e intuitiva, expresa algo semejante a:
La construcción formal es mucho más sofisticada que esta frase informal, pero la idea ayuda a comprender por qué la autorreferencia desempeña un papel tan importante en la demostración.
El segundo teorema de incompletitud
El segundo teorema profundiza todavía más en el problema. Bajo las hipótesis apropiadas, un sistema formal consistente y suficientemente potente no puede demostrar mediante sus propios recursos su propia consistencia.
Si escribimos
para representar formalmente la afirmación de que \(T\) es consistente, entonces, bajo las condiciones del teorema,
si \(T\) es consistente.
Este resultado tuvo enormes consecuencias para los programas de fundamentación de las matemáticas del comienzo del siglo XX.
Verdad y demostrabilidad
Una de las consecuencias filosóficas más sugerentes de la obra de Gödel es la distinción entre verdad matemática y demostrabilidad dentro de un sistema formal concreto.
La expresión
dice que existe una demostración formal de \(\varphi\) en \(T\). En cambio,
afirma que \(\varphi\) es verdadera en una determinada estructura o modelo \(\mathcal{M}\).
La relación entre estas dos nociones constituye uno de los grandes temas de la lógica matemática moderna.
El axioma de elección
Gödel realizó también contribuciones fundamentales a la teoría de conjuntos.
Uno de los principios más famosos de esta teoría es el axioma de elección. En una de sus formulaciones, afirma que para una familia de conjuntos no vacíos existe una función capaz de seleccionar un elemento de cada uno de ellos.
Si
es una familia de conjuntos no vacíos, el axioma permite afirmar la existencia de una función \(f\) tal que
La hipótesis del continuo
Otro de los grandes problemas de la teoría de conjuntos fue formulado por Georg Cantor: la hipótesis del continuo.
Los números naturales tienen cardinalidad
mientras que el conjunto de los números reales posee la cardinalidad del continuo.
La hipótesis pregunta, esencialmente, si existe alguna cardinalidad intermedia entre ambas.
En notación habitual puede escribirse como
Gödel demostró que, si los axiomas usuales de la teoría de conjuntos son consistentes, añadir el axioma de elección y la hipótesis del continuo no produce una contradicción. Décadas más tarde, Paul Cohen completaría la historia demostrando resultados de independencia en la dirección opuesta.
El universo constructible
Para desarrollar sus resultados en teoría de conjuntos, Gödel introdujo el llamado universo constructible, normalmente denotado por
Este universo se construye mediante una jerarquía transfinita de conjuntos:
La construcción de \(L\) se convirtió en una herramienta fundamental de la teoría de conjuntos moderna.
Gödel y Einstein
La actividad intelectual de Gödel no estuvo limitada exclusivamente a la lógica. Durante sus años en el Institute for Advanced Study de Princeton desarrolló una estrecha amistad con Albert Einstein.
Su interés por la relatividad general lo llevó a estudiar las ecuaciones de campo de Einstein:
En 1949 Gödel encontró una solución exacta extraordinariamente peculiar de estas ecuaciones: un modelo cosmológico con materia en rotación.
El universo de Gödel
La solución cosmológica de Gödel posee una propiedad sorprendente: admite determinadas curvas temporales cerradas.
En relatividad general, una trayectoria temporal puede representarse mediante una curva en el espacio-tiempo. En el universo de Gödel existen trayectorias que, al continuar siempre hacia el futuro local del viajero, pueden regresar al mismo acontecimiento del espacio-tiempo.
En términos conceptuales:
Esto no significa que nuestro universo tenga necesariamente esa estructura. La importancia del resultado es que las propias ecuaciones de la relatividad general permiten soluciones con propiedades temporales mucho más extrañas de lo que sugiere nuestra experiencia cotidiana.
Gödel y la naturaleza del tiempo
El interés de Gödel por este modelo no era únicamente matemático. También estaba profundamente interesado en las consecuencias filosóficas de la relatividad para nuestra concepción del tiempo.
La posibilidad de universos en los que no existe una ordenación temporal global sencilla alimentó sus reflexiones acerca de si el paso objetivo del tiempo forma realmente parte de la estructura fundamental de la realidad.
Este punto muestra una faceta especialmente fascinante de Gödel: el mismo pensador que había descubierto límites fundamentales de los sistemas formales también estaba dispuesto a investigar las consecuencias filosóficas más profundas de la física moderna.
Matemática y filosofía
Gödel defendió una concepción fuertemente realista de las matemáticas. Consideraba que los objetos matemáticos no eran simplemente símbolos inventados arbitrariamente, sino que poseían una forma de realidad objetiva susceptible de ser descubierta.
Esta posición se aproxima a lo que suele denominarse platonismo matemático.
Para Gödel, nuestra relación con los objetos matemáticos planteaba preguntas epistemológicas profundas: si entidades como números, conjuntos y estructuras abstractas no son objetos físicos, ¿de qué manera podemos conocerlas?
Sus escritos filosóficos revelan que para él lógica, matemática y filosofía formaban parte de una misma investigación sobre los fundamentos del conocimiento racional.
¿Qué reúne esta edición?
La edición preparada por Jesús Mosterín ordena cronológicamente los escritos de Gödel y acompaña cada texto con una introducción que ayuda a situarlo dentro de su contexto matemático, lógico o filosófico.
Entre los trabajos reunidos se encuentran textos relacionados con:
Metamatemática
Teoremas de incompletitud
Fundamentación de la matemática
Teoría de conjuntos
Axioma de elección
Hipótesis del continuo
Universo constructible
Relatividad general y cosmología
Filosofía de la matemática
Reflexiones sobre lógica y fundamentos
Jesús Mosterín y la edición española
La labor de Jesús Mosterín es especialmente importante para el lector en español. Además de traducir los escritos, introduce cada uno de ellos y ofrece contexto para comprender el problema que Gödel está abordando.
Esto resulta particularmente útil porque los artículos originales de Gödel son conocidos por su enorme densidad conceptual. En pocas páginas puede condensar argumentos que modificaron profundamente campos enteros de la matemática y la lógica.
Una aparente paradoja histórica
La trayectoria científica de Gödel ofrece una combinación extraordinaria. En 1930 demostró que la lógica de primer orden es completa; en 1931 demostró que determinadas teorías aritméticas son inevitablemente incompletas.
Más tarde estudió la consistencia relativa de principios fundamentales de la teoría de conjuntos y finalmente produjo una de las soluciones cosmológicas más sorprendentes de la relatividad general.
Muy pocos matemáticos del siglo XX ejercieron una influencia comparable en campos tan distintos.
¿Para quién puede ser útil este libro?
Esta edición es especialmente valiosa para estudiantes y lectores interesados en lógica matemática, fundamentos de las matemáticas, teoría de conjuntos, filosofía de la matemática e historia de la ciencia.
No debe considerarse un manual introductorio. Muchos de los escritos originales de Gödel son técnicamente exigentes y presuponen familiaridad con lógica y matemática avanzada.
Sin embargo, las introducciones de Mosterín ofrecen un punto de entrada muy útil y permiten apreciar el contexto y la importancia de cada trabajo incluso antes de entrar en todos los detalles técnicos.
Datos del libro
Título: Obras completas
Edición y traducción: Jesús Mosterín
Colección: Alianza Ensayo
Editorial: Alianza Editorial
Publicación de esta edición: 27 de abril de 2006
Páginas: 472
ISBN: 978-84-206-4773-9
Código editorial: 3492288
Idioma: Español
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