An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier–Stokes Equations: Steady-State Problems, de G. P. Galdi, es una extensa monografía dedicada al estudio matemático riguroso de las ecuaciones de Navier–Stokes en régimen estacionario.
Las ecuaciones de Navier–Stokes constituyen uno de los pilares de la mecánica de fluidos y de la teoría moderna de ecuaciones diferenciales parciales. Describen el movimiento de líquidos y gases teniendo en cuenta magnitudes como la velocidad, la presión, la viscosidad y las fuerzas externas que actúan sobre el fluido.
Para un fluido viscoso e incompresible, en régimen estacionario, pueden escribirse esquemáticamente como
Aquí \(\mathbf{u}\) representa el campo de velocidades del fluido, \(p\) la presión, \(\nu\) la viscosidad cinemática y \(\mathbf{f}\) las fuerzas externas.
La segunda ecuación,
expresa la condición de incompresibilidad: el campo de velocidades no posee divergencia.
Un enfoque matemático de la mecánica de fluidos
A diferencia de los textos de mecánica de fluidos orientados principalmente hacia aplicaciones físicas o métodos de cálculo, la obra de Galdi estudia las ecuaciones de Navier–Stokes desde el punto de vista del análisis matemático riguroso.
Esto conduce naturalmente a preguntas fundamentales: ¿existen soluciones?, ¿son únicas?, ¿qué regularidad poseen?, ¿cómo se comportan cuando nos alejamos de un obstáculo?, ¿qué condiciones deben imponerse en las fronteras?
Para responder a estas cuestiones se emplean herramientas de análisis funcional, teoría de ecuaciones diferenciales parciales, espacios de Sobolev y resultados relacionados con los operadores de Stokes y Oseen.
Problemas estacionarios
El subtítulo Steady-State Problems indica que la obra se concentra principalmente en configuraciones donde el campo macroscópico del fluido no cambia con el tiempo.
Matemáticamente, esto elimina el término temporal que aparece en las ecuaciones generales de Navier–Stokes,
Sin embargo, incluso bajo esta simplificación, el término no lineal \((\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\) hace que la teoría matemática sea extraordinariamente rica y difícil.
Contenido de la obra
El libro desarrolla las herramientas analíticas necesarias para estudiar el movimiento de fluidos viscosos y posteriormente aborda los problemas de Stokes, Oseen y Navier–Stokes.
Se estudian tanto dominios acotados como dominios exteriores, incluyendo el comportamiento de un fluido alrededor de obstáculos. También se analizan propiedades de existencia, unicidad, regularidad y comportamiento asintótico de las soluciones.
Por su nivel y extensión, se trata principalmente de una obra destinada a estudiantes avanzados, investigadores y lectores interesados en los fundamentos matemáticos de la mecánica de fluidos.
Datos del libro
Título: An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier–Stokes Equations
Subtítulo: Steady-State Problems
Edición: Second Edition
Colección: Springer Monographs in Mathematics
Editorial: Springer
Año: 2011
Páginas: XIV + 1018
ISBN: 978-0-387-09619-3
eBook ISBN: 978-0-387-09620-9
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