Reading, Writing, and Proving: A Closer Look at Mathematics, de Ulrich Daepp y Pamela Gorkin, es un libro pensado para acompañar al estudiante en una de las transiciones más importantes de su formación matemática: pasar de aprender técnicas de cálculo a comprender definiciones, leer teoremas y construir demostraciones rigurosas.
En cursos de cálculo o precálculo es frecuente concentrarse en encontrar el resultado de un problema. En matemáticas superiores, sin embargo, la pregunta cambia.
Ya no basta con saber que una afirmación parece funcionar en muchos ejemplos. Hay que explicar por qué debe ser verdadera en todos los casos contemplados por el teorema.
La obra desarrolla precisamente esa capacidad. Lógica, conjuntos, funciones, inducción, sucesiones, cardinalidad, espacios métricos y aritmética modular sirven como terreno de entrenamiento para aprender a pensar y escribir matemáticamente.
De calcular a demostrar
Consideremos una afirmación elemental:
Podemos comprobarla para algunos valores:
Pero verificar muchos casos no constituye una demostración. La afirmación habla de todos los números naturales.
Para demostrarla necesitamos un argumento que abarque infinitos casos de una sola vez.
Esta diferencia entre evidencia y demostración constituye uno de los primeros grandes cambios de perspectiva cuando el estudiante comienza a estudiar matemáticas superiores.
Leer matemáticas
Una definición matemática debe leerse con especial cuidado porque cada palabra impone una condición.
Por ejemplo, decir que un entero \(n\) es par significa que existe algún entero \(k\) tal que
Esta definición proporciona inmediatamente una estrategia para demostrar propiedades de los números pares.
Si queremos probar que la suma de dos números pares es par, escribimos
Entonces
Como \(m+n\in\mathbb{Z}\), la suma es nuevamente par.
La demostración surge directamente de comprender correctamente la definición.
Lógica matemática
Una parte fundamental del libro está dedicada a la lógica que aparece detrás de las demostraciones.
Muchas proposiciones matemáticas tienen la forma
Es decir:
Comprender esta estructura permite distinguir una afirmación de su conversa, su contraposición y su negación.
Contraposición
La implicación
es lógicamente equivalente a su contraposición:
Esta equivalencia proporciona una poderosa técnica de demostración. En ocasiones resulta mucho más sencillo demostrar la contraposición que atacar directamente la afirmación original.
Por ejemplo:
En lugar de demostrarlo directamente, podemos demostrar la contraposición: si \(n\) es par, entonces \(n^2\) es par.
Si
entonces
por lo que \(n^2\) es par.
Demostración por contradicción
Otra técnica fundamental consiste en suponer que aquello que queremos demostrar es falso y mostrar que esa suposición conduce a una contradicción.
Uno de los ejemplos clásicos es la irracionalidad de \(\sqrt2\).
Supongamos que
donde \(p\) y \(q\) son enteros sin factores comunes. Entonces
Por tanto \(p^2\) es par, y de ello se deduce que \(p\) también es par. Escribimos
Sustituyendo:
de donde
Así, \(q\) también debe ser par.
Pero entonces \(p\) y \(q\) poseen un factor común, contradiciendo nuestra elección inicial. Por tanto,
Cuantificadores
Las palabras para todo y existe tienen un significado lógico preciso.
El cuantificador universal se representa mediante
mientras que el cuantificador existencial se representa mediante
Por ejemplo,
afirma que el cuadrado de todo número real es no negativo.
En cambio,
afirma la existencia de al menos un número real cuyo cuadrado es 2.
Negar correctamente una afirmación
Una de las habilidades esenciales para escribir demostraciones consiste en aprender a negar afirmaciones cuantificadas.
La negación de
es
Mientras que la negación de
es
Este tipo de manipulación lógica es fundamental para trabajar con contradicciones, límites, continuidad y muchas otras definiciones.
Teoría de conjuntos
El lenguaje de conjuntos aparece prácticamente en toda la matemática moderna.
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos, su unión es
mientras que su intersección es
También aparece el conjunto potencia
formado por todos los subconjuntos de \(A\).
Si un conjunto finito posee \(n\) elementos, entonces
Relaciones y particiones
El libro estudia después relaciones entre elementos de conjuntos. Una relación de equivalencia debe ser reflexiva, simétrica y transitiva.
Cuando una relación de equivalencia actúa sobre un conjunto \(A\), cada elemento determina una clase de equivalencia
Las clases de equivalencia dividen el conjunto en subconjuntos disjuntos y forman una partición.
Esta idea aparece en álgebra, teoría de números, geometría, topología y muchas otras áreas.
Funciones
Una función
asigna a cada elemento de \(A\) exactamente un elemento de \(B\).
El libro estudia cuidadosamente conceptos que posteriormente aparecen constantemente en matemáticas superiores:
Imagen e imagen inversa
Funciones inyectivas
Funciones sobreyectivas
Funciones biyectivas
Funciones inversas
Una función es inyectiva cuando
Es sobreyectiva si
Inducción matemática
La inducción permite demostrar proposiciones para infinitos números naturales utilizando únicamente dos pasos.
Primero se demuestra un caso inicial:
Después se demuestra que
Entonces puede concluirse que
La inducción constituye una de las primeras técnicas generales de demostración que encuentra un estudiante y aparece en combinatoria, teoría de números, álgebra y análisis.
Sucesiones y convergencia
Una sucesión real puede entenderse como una función
Decimos que \((a_n)\) converge a \(L\) si
Este tipo de definición constituye un excelente ejercicio para aprender a trabajar con cuantificadores y para preparar posteriormente el estudio del análisis matemático.
Conjuntos finitos e infinitos
Una de las ideas más sorprendentes de la matemática moderna es que no todos los infinitos poseen el mismo tamaño.
Los números naturales forman un conjunto numerable:
Los enteros también son numerables:
Incluso los números racionales satisfacen
En cambio, Cantor demostró que los números reales no pueden enumerarse:
La diferencia entre conjuntos numerables y no numerables constituye uno de los primeros encuentros del estudiante con el infinito matemático desde una perspectiva rigurosa.
El teorema de Cantor–Schröder–Bernstein
El libro introduce también resultados importantes sobre cardinalidad. Uno de ellos afirma que si existe una inyección
y otra inyección
entonces existe una biyección entre ambos conjuntos:
Este resultado es particularmente útil cuando trabajamos con conjuntos infinitos.
Espacios métricos
Hacia las partes posteriores del libro aparece una primera introducción a los espacios métricos.
Una métrica es una función
que formaliza la idea de distancia entre dos elementos.
En \(\mathbb{R}^n\), la distancia euclidiana es
A partir de una métrica pueden definirse bolas abiertas:
Esto abre la puerta hacia conceptos de análisis y topología como conjuntos abiertos, cerrados y convergencia.
Aritmética modular
El libro también introduce ideas de teoría de números mediante aritmética modular.
Decimos que
si \(n\) divide a \(a-b\).
Por ejemplo,
porque
La aritmética modular resulta fundamental en teoría de números, criptografía y muchas áreas de matemática discreta.
El pequeño teorema de Fermat
Uno de los resultados estudiados hacia el final de la obra es el pequeño teorema de Fermat.
Si \(p\) es primo y \(a\) no es divisible por \(p\), entonces
Una forma equivalente establece que, para cualquier entero \(a\),
Este tipo de teorema proporciona un excelente escenario para combinar definiciones, lógica, inducción y técnicas de demostración.
El método de George Pólya
La filosofía pedagógica del libro está relacionada con el enfoque de resolución de problemas de George Pólya.
De manera esquemática, el proceso puede organizarse en cuatro etapas:
2. Diseñar un plan.
3. Ejecutar el plan.
4. Revisar la solución.
La última etapa es especialmente importante. Una demostración no termina simplemente cuando creemos haber llegado al resultado: debemos revisar cada inferencia, buscar hipótesis utilizadas y comprobar que el argumento realmente demuestra aquello que afirmamos.
Escribir matemáticas
Una demostración matemática no debe ser simplemente una colección de símbolos.
Debe funcionar como un argumento escrito en un lenguaje preciso. Las ecuaciones son parte de ese lenguaje, pero también lo son frases como:
«Por definición...»
«Como \(x\in A\)...»
«Por la hipótesis inductiva...»
«Esto contradice...»
«Por lo tanto...»
Aprender a redactar correctamente estos argumentos es una habilidad matemática en sí misma.
¿Qué hace diferente a este libro?
El propósito de Reading, Writing, and Proving no es desarrollar una única rama matemática hasta gran profundidad.
Utiliza distintos temas para enseñar algo más general: cómo trabaja un matemático frente a una definición, un teorema o un problema nuevo.
El estudiante aprende progresivamente a formular preguntas como:
¿Qué debo demostrar?
¿Puedo probar la contraposición?
¿Servirá una contradicción?
¿Puedo encontrar un contraejemplo?
¿Qué definición debo utilizar?
¿Existe un resultado anterior que pueda aplicar?
¿He demostrado realmente todos los casos?
Contenido de la obra
Logically Speaking
Introducing the Contrapositive and Converse
Set Notation and Quantifiers
Proof Techniques
Sets
Operations on Sets
The Power Set and the Cartesian Product
Relations
Partitions
Order in the Reals
Consequences of the Completeness of ℝ
Functions, Domain, and Range
Functions: One-to-One and Onto
Inverses
Images and Inverse Images
Mathematical Induction
Sequences
Convergence of Sequences of Real Numbers
Equivalent Sets
Finite and Infinite Sets
Countable and Uncountable Sets
Cantor–Schröder–Bernstein Theorem
Metric Spaces
Open and Closed Sets
Modular Arithmetic
Fermat's Little Theorem
Projects
De estudiante de cálculo a estudiante de matemáticas
Existe una diferencia importante entre aprender a utilizar una fórmula y aprender a construir matemáticas.
En cálculo podemos aprender que
Pero en un curso más avanzado podemos preguntarnos: ¿bajo qué definiciones se construye la derivada?, ¿por qué es válida esta fórmula?, ¿qué teoremas necesitamos para demostrarla?
Ese cambio de actitud representa la transición que el libro intenta facilitar.
El estudiante deja gradualmente de ver las matemáticas como una colección de algoritmos y comienza a verlas como una red de definiciones, proposiciones, ejemplos, contraejemplos y demostraciones.
Una preparación para cursos superiores
Las habilidades desarrolladas en este libro resultan especialmente importantes antes de estudiar materias como álgebra abstracta, análisis real, teoría de números, topología, geometría o análisis funcional.
En todas ellas el estudiante debe ser capaz de leer una definición abstracta, comprender las hipótesis de un teorema y producir argumentos rigurosos.
Por eso este tipo de curso suele recibir nombres como Introduction to Proof, Transition to Higher Mathematics o Foundations of Mathematics.
¿Para quién está pensado?
El libro está dirigido principalmente a estudiantes que han completado precálculo o cálculo y comienzan cursos de matemáticas de nivel superior.
También puede resultar muy útil para estudiantes autodidactas que ya manejan técnicas matemáticas pero sienten que les falta experiencia con demostraciones formales.
La segunda edición incorpora numerosos ejercicios, problemas y proyectos, además de un apéndice de definiciones formales que puede utilizarse como referencia rápida.
Datos del libro
Título: Reading, Writing, and Proving
Subtítulo: A Closer Look at Mathematics
Edición: Second Edition
Colección: Undergraduate Texts in Mathematics
Editorial: Springer New York
Año: 2011
Páginas: XIV + 378
ISBN: 978-1-4419-9478-3
eBook ISBN: 978-1-4419-9479-0
DOI: 10.1007/978-1-4419-9479-0
Idioma: Inglés
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