Special and General Relativity: An Introduction to Spacetime and Gravitation, de Rainer Dick, es una introducción rigurosa y concisa a las dos grandes teorías de Albert Einstein: la relatividad especial y la relatividad general.
El libro desarrolla un recorrido que comienza con las limitaciones de la mecánica newtoniana, introduce la geometría del espacio-tiempo de Minkowski y culmina con las ecuaciones de Einstein y el movimiento de partículas y fotones en campos gravitatorios.
A diferencia de muchas introducciones que se concentran exclusivamente en los efectos más conocidos de la relatividad, Dick dedica una atención considerable a las herramientas geométricas necesarias para comprender por qué la gravedad puede describirse como una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.
La obra pertenece a la colección IOP Concise Physics y está pensada para estudiantes de física, matemáticas e ingeniería que ya poseen conocimientos de cálculo y mecánica clásica.
¿Por qué fue necesaria la relatividad?
En la mecánica newtoniana, espacio y tiempo se consideran entidades independientes.
Para dos observadores inerciales con velocidad relativa constante \(v\), las transformaciones de Galileo pueden escribirse como
Estas expresiones suponen que el tiempo transcurre de la misma manera para todos los observadores.
Sin embargo, la teoría electromagnética de Maxwell y los experimentos relacionados con la propagación de la luz hicieron necesario revisar esta imagen clásica.
La relatividad especial resuelve esta dificultad mediante una nueva relación entre espacio, tiempo y movimiento.
Los postulados de la relatividad especial
La teoría de Einstein de 1905 puede formularse mediante dos principios.
Invariancia de la velocidad de la luz: todos los observadores inerciales miden la misma velocidad de la luz en el vacío, independientemente del movimiento relativo de la fuente.
La velocidad de la luz en el vacío es
Su invariancia obliga a abandonar la idea de un tiempo absoluto.
Las transformaciones de Lorentz
Consideremos dos observadores inerciales con velocidad relativa \(v\) a lo largo del eje \(x\).
Las coordenadas de un mismo acontecimiento se relacionan mediante
donde
es el factor de Lorentz.
Estas transformaciones sustituyen a las transformaciones de Galileo cuando los efectos relativistas no pueden despreciarse.
La relatividad de la simultaneidad
Una de las consecuencias más profundas de la transformación temporal es que dos acontecimientos simultáneos en un sistema de referencia no tienen por qué ser simultáneos en otro.
La separación temporal entre acontecimientos satisface
Si
pero los acontecimientos ocurren en posiciones diferentes, entonces generalmente
Por tanto, la simultaneidad deja de ser una propiedad absoluta.
Dilatación temporal
Un reloj en movimiento respecto a un observador inercial puede presentar un intervalo temporal mayor entre dos de sus marcas.
Si \(\Delta\tau\) es el tiempo propio medido por el reloj, entonces
para un reloj que se mueve uniformemente con rapidez \(v\) respecto al observador.
Este efecto ha sido confirmado experimentalmente, entre otros contextos, mediante partículas inestables y relojes atómicos.
Contracción de las longitudes
La relatividad también modifica la relación entre longitud y movimiento.
Si un objeto posee longitud propia \(L_0\), medida en su sistema de reposo, un observador respecto al cual se mueve paralelamente a esa longitud mide
cuando mide simultáneamente las posiciones de sus extremos en su propio sistema.
La contracción longitudinal y la dilatación temporal no son fenómenos independientes: ambos proceden de la misma estructura geométrica.
El espacio-tiempo de Minkowski
Hermann Minkowski desarrolló una formulación geométrica que unifica espacio y tiempo en una estructura de cuatro dimensiones.
Un acontecimiento se representa mediante
Utilizando la convención de signos \((-+++)\), el intervalo de Minkowski es
Esta cantidad permanece invariante bajo transformaciones de Lorentz.
Es decir, observadores inerciales diferentes pueden asignar coordenadas distintas a los acontecimientos, pero coinciden en el valor del intervalo espacio-temporal.
Conos de luz y causalidad
La geometría de Minkowski permite clasificar la separación entre acontecimientos.
Intervalo luminoso: \(ds^2=0\).
Intervalo espacial: \(ds^2>0\).
Las trayectorias de la luz delimitan el llamado cono de luz.
Su interior contiene acontecimientos que pueden mantener relaciones causales mediante señales que no superen la velocidad de la luz.
Esta estructura será fundamental para comprender posteriormente los horizontes de los agujeros negros.
El tiempo propio
Para una trayectoria temporal, el tiempo propio satisface
En el espacio-tiempo de Minkowski,
Esta expresión permite relacionar el tiempo medido por un reloj con la trayectoria que describe a través del espacio-tiempo.
Dinámica relativista
El cuarto capítulo desarrolla la mecánica relativista.
El momento lineal de una partícula de masa en reposo \(m\) es
Su energía total es
Ambas cantidades satisfacen la relación fundamental
Cuando la partícula está en reposo,
y obtenemos
El cuatro-momento
La unión entre energía y momento puede escribirse mediante un cuadrivector:
Su norma de Minkowski satisface
Este lenguaje permite formular leyes de conservación de una manera compatible con la relatividad especial.
Dick utiliza progresivamente estas herramientas para desarrollar una descripción geométrica de la dinámica relativista.
El principio de equivalencia
La transición hacia la relatividad general comienza con una observación fundamental: todos los cuerpos de prueba en caída libre experimentan la misma aceleración gravitatoria si se desprecian fuerzas no gravitatorias.
Einstein reconoció en esta propiedad una conexión entre gravedad y movimiento acelerado.
El principio de equivalencia permite considerar sistemas de referencia locales en caída libre en los que la física se aproxima a la de un sistema inercial.
Sin embargo, cuando examinamos regiones suficientemente extensas, los efectos de marea revelan que el espacio-tiempo puede poseer curvatura real.
De un espacio-tiempo plano a uno curvo
En relatividad general, el elemento de intervalo adopta una forma más amplia:
El tensor \(g_{\mu\nu}\) describe la geometría local del espacio-tiempo.
A diferencia de la métrica constante de Minkowski, sus componentes pueden depender de la posición.
La geometría deja así de ser un escenario fijo y se convierte en una parte dinámica de la descripción física.
Geometría diferencial
Antes de presentar las ecuaciones de Einstein, el libro introduce las herramientas necesarias para trabajar con espacios curvos.
Entre ellas aparecen las variedades, los espacios tangentes, los tensores, las coordenadas curvilíneas y la derivación covariante.
La derivada covariante de un campo vectorial contravariante es
donde \(\Gamma^\nu_{\mu\lambda}\) son los símbolos de Christoffel.
Estos símbolos codifican cómo cambian las bases coordenadas de un punto a otro.
La conexión de Levi-Civita
Para una métrica dada, la conexión de Levi-Civita es la única conexión sin torsión y compatible con la métrica.
Sus símbolos de Christoffel pueden calcularse mediante
Esta relación convierte la información contenida en el tensor métrico en ecuaciones que determinan el movimiento de partículas en caída libre.
Las geodésicas
En la formulación geométrica de la gravedad, una partícula libre sigue una geodésica temporal del espacio-tiempo.
La ecuación geodésica es
donde \(\tau\) es el tiempo propio de una partícula masiva.
La idea es profunda: una partícula en caída libre no necesita experimentar una fuerza gravitatoria en el sentido newtoniano.
Su movimiento puede interpretarse como una trayectoria natural dentro de la geometría del espacio-tiempo.
Partículas en el espacio-tiempo curvo
El sexto capítulo aplica las herramientas geométricas a las ecuaciones del movimiento.
También estudia la recuperación de la gravedad newtoniana en el límite de campos débiles y velocidades pequeñas.
En una aproximación apropiada, la componente temporal de la métrica puede relacionarse con el potencial gravitatorio newtoniano \(\Phi\):
Este resultado muestra cómo la gravitación clásica emerge como aproximación de una teoría geométrica más general.
La curvatura del espacio-tiempo
El objeto matemático que describe la curvatura es el tensor de Riemann.
Una de sus definiciones puede expresarse mediante el conmutador de derivadas covariantes:
El tensor de Riemann permite distinguir un espacio-tiempo realmente curvo de uno plano expresado simplemente mediante coordenadas complicadas.
Sus contracciones conducen al tensor de Ricci \(R_{\mu\nu}\) y al escalar de curvatura \(R\).
La desviación geodésica
Una manera física de detectar curvatura consiste en observar dos partículas cercanas en caída libre.
Aunque cada partícula siga una geodésica, sus trayectorias pueden aproximarse o separarse debido a los efectos de marea.
La ecuación de desviación geodésica puede escribirse, según la convención de curvatura adoptada, como
Aquí \(\xi^\mu\) representa la separación infinitesimal entre las trayectorias.
Dick utiliza esta idea para introducir el papel físico de la curvatura en relatividad general.
Las ecuaciones de Einstein
El séptimo capítulo presenta las ecuaciones que relacionan la geometría del espacio-tiempo con la materia y la energía.
En esta expresión, \(T_{\mu\nu}\) es el tensor energía-momento, \(G\) es la constante de gravitación universal y \(\Lambda\) la constante cosmológica.
El lado izquierdo describe la geometría y la curvatura. El lado derecho describe el contenido material y energético.
Estas ecuaciones constituyen el núcleo de la teoría general de la relatividad.
La solución de Schwarzschild
Una de las soluciones más conocidas de las ecuaciones de Einstein es la métrica de Schwarzschild, que describe el exterior de un cuerpo esféricamente simétrico, no rotatorio y eléctricamente neutro, en una región de vacío.
Su elemento de línea puede escribirse como
donde
es el radio de Schwarzschild.
Esta solución permite estudiar movimiento orbital, dilatación gravitacional del tiempo y agujeros negros.
El horizonte de sucesos
En la solución de Schwarzschild, el valor
corresponde al horizonte de sucesos del agujero negro.
Este horizonte delimita una región desde la que ninguna señal luminosa futura puede alcanzar el infinito exterior.
Es importante distinguir la singularidad de las coordenadas de Schwarzschild en el horizonte de la singularidad física asociada al centro \(r=0\).
El libro estudia también la extensión de la geometría de Schwarzschild y su estructura más allá de las coordenadas exteriores habituales.
La dilatación gravitacional del tiempo
En un campo gravitatorio, el ritmo de los relojes depende de su posición.
Para un reloj estacionario a un radio \(r>r_s\) en la geometría de Schwarzschild,
donde \(t\) es el tiempo coordenado de Schwarzschild, normalizado respecto a un observador estacionario muy alejado del cuerpo.
La gravedad influye así no solamente sobre las trayectorias de las partículas, sino también sobre la medición del tiempo.
El movimiento de partículas masivas
El octavo capítulo analiza las geodésicas de partículas con masa en la geometría de Schwarzschild.
Una herramienta importante es la introducción de potenciales efectivos, que permiten estudiar órbitas circulares, estabilidad y trayectorias de caída.
En el límite newtoniano, la energía potencial gravitatoria de una partícula de masa \(m\) es
La descripción relativista incorpora correcciones geométricas que modifican el comportamiento de las órbitas.
La precesión del perihelio
Una de las consecuencias conocidas de la relatividad general es el avance del perihelio de las órbitas planetarias.
Para una órbita débilmente relativista, la corrección aproximada por revolución es
donde \(a\) es el semieje mayor y \(e\) la excentricidad orbital.
Este resultado explica, entre otros efectos, la contribución relativista a la precesión del perihelio de Mercurio.
La luz en el espacio-tiempo curvo
El noveno capítulo estudia el movimiento de partículas sin masa, especialmente los fotones.
A diferencia de las partículas masivas, los fotones siguen geodésicas nulas:
Por ello, el tiempo propio no puede utilizarse como parámetro de evolución a lo largo de una trayectoria luminosa.
Se introducen en su lugar parámetros afines adecuados para describir las geodésicas.
La desviación gravitacional de la luz
La relatividad general predice que la trayectoria de la luz puede curvarse al pasar cerca de una masa.
En el régimen de campo débil, para un rayo con parámetro de impacto \(b\), el ángulo de desviación aproximado es
Este resultado es uno de los efectos clásicos utilizados para contrastar la relatividad general.
También proporciona las bases para comprender el fenómeno de las lentes gravitacionales.
Órbitas de fotones
En el espacio-tiempo de Schwarzschild, los fotones pueden describir una órbita circular inestable en el radio
Esta región se conoce como la esfera de fotones.
Las órbitas circulares de luz en dicha región son inestables: pequeñas perturbaciones pueden hacer que el fotón escape o se acerque al agujero negro.
Su existencia revela hasta qué punto la curvatura gravitatoria puede modificar la propagación de la luz.
De Newton a Einstein
La gran idea que atraviesa toda la obra es que la relatividad general no constituye simplemente una nueva ley de fuerzas.
Einstein modificó la estructura conceptual utilizada para describir espacio, tiempo y gravitación.
Espacio y tiempo absolutos
↓
Relatividad especial
Espacio-tiempo de Minkowski
↓
Relatividad general
Espacio-tiempo curvo y dinámico
La mecánica clásica sigue siendo una aproximación extraordinariamente precisa bajo determinadas condiciones.
La relatividad amplía ese marco para describir fenómenos que la física newtoniana no puede explicar completamente.
Contenido del libro
2. A First Look at Notions from Geometry
3. The Tangents of Spacetime: Special Relativity
4. Relativistic Dynamics
5. Differential Geometry: The Kinematics of Curved Spacetime
6. Particles in Curved Spacetime
7. The Dynamics of Spacetime: The Einstein Equation
8. Massive Particles in the Schwarzschild Spacetime
9. Massless Particles in the Schwarzschild Spacetime
Una introducción que construye la geometría
Uno de los aspectos que distingue a este libro es que introduce los conceptos geométricos a medida que el lector los necesita.
Primero presenta ideas sencillas de coordenadas, bases y vectores. Después introduce tensores y geometría diferencial. Finalmente utiliza esas herramientas para describir las geodésicas, la curvatura y las ecuaciones de Einstein.
El autor busca así evitar que el estudiante deba completar previamente un curso independiente de geometría diferencial para comprender los fundamentos de la teoría.
¿Para quién está pensado?
Special and General Relativity está dirigido principalmente a estudiantes universitarios de física, matemáticas e ingeniería.
Su formato permite utilizarlo como texto para un curso de aproximadamente un semestre.
Es recomendable tener conocimientos previos de cálculo diferencial, cálculo multivariable, álgebra lineal y mecánica clásica.
También puede resultar útil para estudiantes de posgrado que deseen construir una primera base sistemática de relatividad.
Sobre el autor
Rainer Dick es un físico vinculado a la University of Saskatchewan, en Canadá.
Se formó en las universidades de Stuttgart, Karlsruhe y Hamburgo, y ha trabajado en temas de física de partículas, cosmología, teoría de cuerdas, física de materiales y óptica cuántica.
También es autor de Advanced Quantum Mechanics: Materials and Photons.
Esta experiencia en distintas áreas de física teórica se refleja en un tratamiento que concede importancia a la estructura matemática de las teorías.
Datos del libro
Título: Special and General Relativity
Subtítulo: An Introduction to Spacetime and Gravitation
Colección: IOP Concise Physics
Editorial: Morgan & Claypool Publishers / IOP Publishing
Año: 2019
Publicación: Febrero de 2019
Extensión: Aproximadamente 150 páginas
Capítulos: 9
ISBN impreso: 978-1-64327-377-8
ISBN electrónico: 978-1-64327-380-8
DOI: 10.1088/2053-2571/aaf173
Idioma: Inglés
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